Approximation : r1 ≃ r2,  ie  ∣ r1-r2 ∣ << r1  ,  d’où :

dont la partie réelle s’écrit :

ou encore, avec A0 = amplitude liée à une seule source :

Or cos x + cos y = 2 cos (x+y /2) cos (x-y /2), d’où :

Si ω1 et ω2 sont du même ordre de grandeur (10 15 en optique),

le premier terme cos (en bleu) va osciller très rapidement (ω1 + ω2),

alors que le second terme cos (vert) oscillera très lentement (ω1 - ω2).

Le produit des 2 termes est un «battement», représenté sur le schéma ci-dessous :

Ces battements sont audibles aux fréquences acoustiques usuelles (accordage d’un instrument à cordes), mais ne sont pas observables en optique, car pour 2 sources lumineuses distinctes, Δω n’est jamais assez petit pour qu’on observe les battements.

Dans cette configuration où D >> a et  D >> x,   et r1 ≃ r2, on a r2 - r1 ≃ ax / D ;

L’intensité totale peut donc s’écrire :

On obtient un ensemble de franges d’interférences :

  

dont l’interfrange (distance entre 2 franges) aux maximums d’intensité (pour que cos = 1) est :

   ω1 = ω2 = ω

et k1 = k2 = k

avec :

C’est le principe des casques audio «anti-bruit» qui ajoutent une interférence destructive de phase opposée au bruit ambiant recueilli, pour que la somme des interférences soit nulle.

L’intensité totale I s’écrit : 

Autrement dit, la somme de 2 ondes lumineuses peut de façon surprenante être égale à 0 au niveau du détecteur (franges d’obscurité) ou encore être égale à 4 fois l’intensité lumineuse de chaque source (franges hyperlumineuses).

C’est le principe des interférences démontré par l’expérience des fentes de Young (voir le chapitre ‘Lumière’).

L’amplitude totale s’écrit :

et le complexe conjugué (i remplacé par -i) :

L’intensité est la valeur moyenne de A  x A* :

L’intensité totale peut donc s’écrire comme :

I tot (t) ≃  4 I0 cos2 (k  (r2 - r1) / 2)

On note que lorsque r1 = r2 (cos 0 = 1), la médiatrice de S1S2 est un 1er plan simple d’intensité maximale.

Les autres surfaces d’intensité maximale (telles que cos = 1) doivent vérifier  :

La figure représentant ces lieux d’égale intensité dans l’espace au voisinage de 2 sources S1 et S2 est un ensemble d’hyperboloïdes de révolution :

ou en représentation 3D :

Si l’on place un écran au dessus, dans l’alignement des 2 sources, on observe des interférences circulaires. On les appelle des «anneaux d’interférences» :

Si l’on place l’écran sur le côté, parallèlement à l’axe rejoignant les 2 sources, on observe des interférences linéaires. On les appelle des «franges d’interférences» :

Les miroirs de Fresnel sont un dispositif interférentiel composé de 2 miroirs formant un angle α < 1°, comme représentés sur les schémas suivants :

 

Le biprisme de Fresnel est un dispositif interférentiel composé de 2 prismes d’angle défini A, à une distance L de la source S, comme l’explique la succession des schémas suivants :

 

 

L’expérience des trous de Young (ou fentes de Young) fait intervenir le phénomène de diffraction au niveau de chaque trou (ou fente) pour créer des interférences. Elle sera détaillée au chapitre «Diffraction».